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基于水平集的拓扑优化方法概述

发布时间：2024-06-24 14:08:41 作者：佚名

水平集(level set)的基本思想是将界面看成高一维空间中某一函数ψ（称为水平集函数）的零水平集，同时界面的演化也扩充到高一维的空间中。我们将水平集函数按照它所满足的发展方程进行演化或迭代，由于水平集函数不断进行演化，所以对应的零水平集也在不断变化，当水平集演化趋于平稳时，演化停止，得到界面形状。

$\\psi \\left( \\mathbf{x},t \\right)=\\left\\{\\begin{array}{cc} <0 &{\\mathbf{x}\\in \\Omega}\\\\=0 &{\\mathbf{x}\\in \\partial \\Omega}\\\\ >0 &{\\mathbf{x}\ ot \\in \\Omega }\\\\ \\end{array} \\right.$

其中，t表示时间。

是水平集设计变量，

$\\psi$

是水平集函数，

$\\Omega$

是作用域，D是设计空间，?Ω?Ω是作用域的边界。0水平集函数表示作用域的边界。

一般使用符号距离函数进行初始水平集函数的构建。符号距离函数为设计空间内任意点处到边界的最小距离，且如果该点在区域边界内部，值为正；在边界外部，值为负；在边界上，值为0。详细信息参见维基百科Signed distance function。根据初始水平集函数确定的水平集范围，进行材料的初始分布。

如果拓扑优化设计的目标是在给定最大体积 $V_{max}$ 的情况下，最小化J，则构建的拉格朗日函数如下[1]：

$L\\left( \\mathbf{x}\\right)=J\\left( \\mathbf{x}\\right)+ \\lambda \\mathbf{x}\\left({V \\mathbf(x)-V_{max}}\\right)+ \\frac{1}{2\\Lambda}\\left({V \\mathbf(x)-V_{max}}\\right)^2$

其中，

$J\\left(\\mathbf{x}\\right)$

是优化目标函数，

$V \\mathbf(x)-V_{max}$

是给定的等式约束，

$\\lambda$

和

$\\Lambda$

是两个拉格朗日系数，更新策略为[2]：

$\\lambda^{k+1}=\\lambda^k+\\frac{1}{\\Lambda^k}\\left({V \\mathbf(x)-V_{max}}\\right)$ $\\Lambda^{k+1}=\\alpha\\Lambda^k$

其中，权重系数α∈(0,1)α∈(0,1)

拓扑敏感度指当增加一个无限小的空时，元素点处的目标函数的变化程度[3]。示意图如图1所示[4]。

图1 拓扑敏感度示意图
拓扑敏感度计算方法如式所示

$\\delta_{t}L\\left( \\mathbf{x}\\right)=\\lim_{r \ o 0} {\\frac{L\\left(r\\right)-L}{\\pi r^2}}$

3.4拉格朗日函数的元素敏感度

元素敏感度指增加一个元素后，元素点处的目标函数的变化程度。

$\ riangle J=u_e^TK_eu_e$

根据元素敏感度和拓扑敏感度确定每一个元素点处的更新速度，进行水平集函数的更新。

$\\frac{\\partial \\psi}{\\partial t}=-v\\left( \\mathbf{x}\\right) \\left | \ abla \\psi \\right | - \\omega g \\left ( \\mathbf{x}\\right)$

其中，

$v\\left( \\mathbf{x}\\right)$

为元素敏感度，根据3.4节方法进行计算。

$g \\left ( \\mathbf{x}\\right)=-sign\\left( \\psi \\left( \\mathbf{x}\\right) \\right) \\delta_{t}L\\left( \\mathbf{x}\\right)$

$\\delta_{t}L\\left( \\mathbf{x}\\right)$ 是拓扑敏感度，根据3.3节方法进行计算。 $-sign\\left( \\psi \\left( \\mathbf{x}\\right) \\right)$ 为水平集符号函数。计算方法如下：

$sign\\left( \\psi \\left( \\mathbf{x}\\right) \\right)=\\left \\{ \\begin{array}{cc} -1 & if \\psi<0\\\\=0 & if \\psi \\ge 0\\\\ \\end{array} \\right.$

使用一阶格式法[5]进行 $\\left | \ abla \\psi \\right |$ 的计算。

Step 1：使用符号距离函数法进行初始水平集函数的构建，并确定初始材料分布；
Step 2：根据设计目标和体积约束构建拉格朗日函数
Step 3：计算每一元素的拓扑敏感度和元素敏感度
Step 4：根据3.5节方法进行水平集函数的更新
Step 5：根据新的水平集函数确定新的材料分布和新的拉格朗日函数
Step 6：收敛性分析。如果收敛，优化结束；不收敛，从Step 2循环。

基于水平集法进行拓扑优化的开拓性论文1：Michael Yu Wang, X. W., Dongming Guo (2003). “A level-set method for structural topology optimization.” Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 192: 20.
基于水平集法进行拓扑优化的开拓性论文2：Allaire, G., et al. (2004). “Structural optimization using sensitivity analysis and a level-set method.” Journal of Computational Physics 194(1): 363-393.
Matlab代码：Challis, V. J. (2010). “A discrete level-set topology optimization code written in Matlab.” Struct Multidisc Optim 41: 12.
水平集方法介绍：https://www.http://youtube.com/watch?v=B9soiDHr9bo&index

[1]Luo, J., Z. Luo, L. Chen, L. Tong and M. Y. Wang (2008). “A semi-implicit level set method for structural shape and topology optimization.” Journal of Computational Physics 227(11): 5561-5581.
[2]Luo, J., Z. Luo, S. Chen, L. Tong and M. Y. Wang (2008). “A new level set method for systematic design of hinge-free compliant mechanisms.” Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 198(2): 318-331.
[3]Deng, S. and K. Suresh (2014). “Multi-constrained topology optimization via the topological sensitivity.” Structural and Multidisciplinary Optimization 51(5): 987-1001.
[4]Masaki Otomori, T. Y., Kazuhiro Izui, Shinji Nishiwaki (2015). “Matlab code for a level set based topology optimization method using a reaction diffusion equation.” Struct Multidisc Optim 51: 1159-1172.
[5]Allaire et al. Structural optimization using sensitivity analysis and a level-set method., 2004(194): 363-393.

题图来源于Google Image Search

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